Фильтрация суспензии в пористом материале

Фильтрация взвешенных твердых частиц в пористом материале моделирует процессы укрепления фундаментов, создания водонепроницаемых стен в горной породе, строительстве и реконструкции дорог, кольматацию (осаждение частиц) в призабойной зоне скважины компонентами бурового раствора при нефтедобыче, работу фильтрующих элементов очистных сооружений и многое другое. Целью настоящей работы явилось исследование фильтрации монодисперсной суспензии высокой концентрации в однородной пористой среде, имеющей поры различных размеров и конфигурации. В пористую среду под давлением закачивалась суспензия, вытесняющая из пор чистую жидкость, не содержащую частиц. Предполагается, что основной причиной задержания частиц является размерный механизм: частицы свободно проходят через крупные поры и застревают в узких порах, диаметр которых меньше размера частиц. Моделируется нелинейная зависимость скорости роста осадка от концентрации взвешенных частиц, характерная для высококонцентрированной суспензии. При медленном движении суспензии в пористом материале осажденные частицы остаются неподвижными. Они не могут быть оторваны от каркаса пористой среды несущей жидкостью и ударами взвешенных частиц. Математическая модель описывает превращение взвешенных частиц в осадок и задает скорость роста осадка. Получено решение задачи фильтрации в неявной интегральной форме и простое алгебраическое соотношение (инвариант Римана), связывающее концентрации взвешенных и осажденных частиц. Задача решена для линейной функции фильтрации и общей нелинейной функции концентрации. Построено асимптотическое решение вблизи фронта концентраций взвешенных и осажденных частиц, задающее приближенное решение в виде явных алгебраических формул. Показано, что асимптотика близка к точному решению, погрешность уменьшается с ростом порядка асимптотического разложения.

Л.И. КУЗЬМИНА¹, канд. физ.-мат. наук, доцент (Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.);
Ю.В. ОСИПОВ², канд. физ.-мат. наук, доцент (Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.)

¹ Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (101000, г. Москва, ул. Мясницкая, 20)
² Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (129337, г. Москва, Ярославское ш., 26)

1. Zhu G., Zhang Q., Liu R., Bai J., Li W., Xiao Feng X. Experimental and numerical study on the permeation grouting diffusion mechanism considering filtration effects. Geofluids. 2021. ID 6613990. DOI: https://doi.org/10.1155/2021/6613990
2. Ибрагимов М.Н., Семкин В.В., Шапошников А.В. Цементация грунтов инъекцией растворов в строительстве. М.: АСВ, 2017. 266 с.
2. Ibragimov M.N., Semkin V.V., Shaposhnikov A.V. Tsementatsiya gruntov inektsiei rastvorov v stroitel’stve [Cementation of soils by injection of solutions in construction]. Moscow: ASV. 2017. 266 p.
3. Christodoulou D., Lokkas P., Droudakis A., Spiliotis X., Kasiteropoulou D., Alamanis N. The development of practice in permeation grouting by using fine-grained cement suspensions. Asian Journal of Engineering and Technology. 2021. Vol. 9 (6), pp. 92–101. DOI: https://doi.org/10.24203/ajet.v9i6.6846
4. Мамедов Г.Н., Сулейманова И.Г., Тагиров Б.М. Высокоэффективный легкий заполнитель из стек-лосодержащих отходов // Строительные материалы. 2020. № 12. С. 66–71. DOI: https://doi.org/10.31659/0585-430X-2020-787-12-66-71
4. Mammadov H.N., Suleimanova I.H., Tahirov B.M. High-effective lightweight aggregate obtained from glass-containing waste. Stroitel’nye Materialy [Construction Materials]. 2020. No. 12, pp. 66–71. (In Russian). DOI: https://doi.org/10.31659/0585-430X-2020-787-12-66-71
5. Федорова Г.Д., Александров Г.Н., Скрябин А.П. Активация структурообразующих свойств оксида графена в цементных композитах // Строительные материалы. 2020. № 1–2. С. 17–23. DOI: https://doi.org/10.31659/0585-430X-2020-778-1-2-17-23
5. Fedorova G.D., Aleksandrov G.N., Scryabin A.P. Activation of structure-forming properties of graphene oxide in cement composites. Stroitel’nye Materialy [Construction Materials]. 2020. No. 1–2, pp. 17–23. (In Russian). DOI: https://doi.org/10.31659/0585-430X-2020-778-1-2-17-23
6. Федорова Г.Д., Скрябин А.П., Александров Г.Н. Исследование влияния оксида графена на прочность цементного раствора // Строительные материалы. 2019. № 1–2. С. 16–22. DOI: https://doi.org/10.31659/0585-430X-2019-767-1-2-16-22
6. Fedorova G.D., Skriabin A.P., Aleksandrov G.N. The study of the influence of graphene oxide on the strength of cement stone using river sand. Stroitel’nye Materialy [Construction Materials]. 2019. No. 1–2, pp. 16–22. DOI: https://doi.org/10.31659/0585-430X-2019-767-1-2-16-22 (In Russian).
7. Santos A., Bedrikovetsky P., Fontoura S. Analytical micro model for size exclusion: Pore blocking and permeability reduction. Journal of Membrane Science. 2008. Vol. 308, pp. 115–127. DOI: https://doi.org/10.1016/j.memsci.2007.09.054
8. Bashtani F., Ayatollahi S., Habibi A., Masihi M. Permeability reduction of membranes during particulate suspension flow; analytical micro model of size exclusion mechanism. Journal of Membrane Science. 2013. Vol. 435, pp. 155–164. DOI: 10.1016/j.memsci.2013.01.043
9. Галагуз Ю.П., Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В. Задача фильтрации суспензии в пористой среде с осадком // Механика жидкости и газа. Известия Российской академии наук (Изв. РАН. МЖГ). 2019. № 1. С. 86–98. DOI: 10.1134/S0568528119010067
9. Galaguz Yu.P., Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. The problem of filtering a suspension in a porous medium with sediment. Mekhanika zhidkosti i gaza. Izvestiya Rossiiskoi akademii nauk (Izv. RAN. MZhG). 2019. Vol. 54(1), pp. 85–97. (In Russian). DOI: https://doi.org/10.1134/S0015462819010063
10. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Determining the Lengmur coefficient of the filtration problem. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2020. Vol. 16(4), pp. 48–54. DOI: 10.22337/2587-9618-2020-16-4-48-54
11. Сафина Г.Л. Моделирование фильтрации двухчастичной суспензии в пористой среде // Промышленное и гражданское строительство. 2022. № 2. С. 31–35. DOI: https://doi.org/10.33622/0869-7019.2022.02.31-35
11. Safina G.L. Modelling of filtration of a two-particle suspension in a porous medium. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo. 2022. No. 2, pp. 31–35. (In Russian). DOI: https://doi.org/10.33622/0869-7019.2022.02.31-35
12. Сафина Г.Л. Расчет профилей осадка двухчастичной суспензии в пористой среде // Промышленное и гражданское строительство. 2020. № 11. C. 110–114. DOI: https://doi.org/10.33622/0869-7019.2020.11.110-114
12. Safina G.L. Calculation of deposit profiles of a two-particle suspension in a porous medium. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo. 2020. № 11. С. 110–114. (In Russian). DOI: https://doi.org/10.33622/0869-7019.2020.11.110-114
13. Zhang H., Malgaresi G.V.C., Bedrikovetsky P. Exact solutions for suspension colloidal transport with multiple capture mechanisms. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2018. Vol. 105, pp. 27–42. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2018.07.007
14. Kuzmina L.I., Nazaikinskii V.E., Osipov Y.V. On a deep bed filtration problem with finite blocking time. Russian Journal of Mathematical Physics. 2019. Vol. 26 (1), pp. 130–134. DOI: 10.1134/S1061920819010138
15. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Polyanin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convective mass transfer. Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. Vol. 41(5), pp. 556–564. DOI: 10.1134/S0040579507050168
16. Осипов Ю.В., Жеглова Ю.Г. Моделирование переноса и захвата частиц в пористой среде // Промышленное и гражданское строительство. 2019. № 11. С. 31–35. DOI: 10.33622/0869-7019.2019.11.56-60
16. Osipov Yu.V., Zheglova Yu.G. Modelling of transport and retention of particles in porous media. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo. 2019. No. 11, pp. 56–60. (In Russian). DOI: 10.33622/0869-7019.2019.11.56-60
17. Malgaresi G., Collins B., Alvaro P., Bedrikovetsky P. Explaining non-monotonic retention profiles during flow of size-distributed colloids. Chemical Engineering Journal. 2019. Vol. 375. ID 121984. DOI: 10.1016/j.cej.2019.121984
18. Vaz A, Maffra D, Carageorgos T, Bedrikovetsky P. Characterisation of formation damage during reactive flows in porous media. Journal of Natural Gas Science and Engineering. 2016. Vol. 34, pp. 1422–1433. DOI: 10.1016/j.jngse.2016.08.016
19. Кузьмина Л.И., Осипов Ю.В., Царева В.И. Обратная задача для линейной функции фильтрации // Промышленное и гражданское строительство. 2020. № 6. С. 64–68. DOI: 10.33622/0869-7019.2020.06.64-68
19. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V., Tsareva V.I. Inverse problem for a linear filtration function. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel’stvo. 2020. No. 6, pp. 64–68. (In Russian). DOI: 10.33622/0869-7019.2020.06.64-68
20. Alvarez A.C., Hime G., Marchesin D., Bedrikovetsky P.G. The inverse problem of determining the filtration function and permeability reduction in flow of water with particles in porous media. Transport in Porous Media. 2007. Vol. 70 (1), pp. 43–62. DOI: https://doi.org/10.1007/s11242-006-9082-3